“关于1430980Z空间”，请问filippov解大概是什么意思？是怎么定义的？有什么作用？

一、请问filippov解大概是什么意思？是怎么定义的？有什么作用？

您好【-1，1】这个是区间？怎么理解x=0的时候F=【-1，1】？

二、希尔伯特空间范畴Hilb比线性空间范畴Vect多了什么样的结构？

泻药。已经有很好的回答了。

题目应纠正一下，0+1d不需要extended就有定义很好的TFT了，应该是每一个0＋1dorientedTFT等价于一个finitedimensionvectorspace。另外，extendedTFT是从2+1d开始，其bordisms由2-category以上的highercategory来描述这件事。

三、请问filippov解大概是什么意思？是怎么定义的？有什么作用？

0，前言

我发现某个算法必须右端不连续才行（其实是在右端不连续的情况下我才有可能找得到Lyapunov函数，汗），我已经看了一些资料，却依然摸不着门路。为啥命运会安排我看这个，我只是个工科生啊，〒▽〒

只能硬着头皮上了，所谓教学相长，希望自己能最终看懂，看一点写一点吧~

首先，系统的filippov解是含义是对右端不连续的微分方程的求解，举个最简单的例子：

ddot{x}=-sign(x)

很显然上述谐振系统在原点周围全局稳定，但由于sign不连续，所以不能使用针对Lipschitz连续的稳定性判据给出该系统稳定性的证明。

那么该怎么办呢？第一步是解决有段不连续微分方程解的定义。然而，这种定义是不唯一的，常见的有Caratheodory解，Filippov解，Krasovskii解，Euler解，Sample-and-hold解等等。

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以下是我初次涉及的读书笔记，几乎肯定是错误满篇，不可信不可信。

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1，右端不连续微分方程的解

首先看一下什么叫做绝对连续函数：

方程gamma:[a,b] ightarrowmathbb{R}绝对连续的充分不必要条件是存在一个勒贝格可积函数kappa:[a,b] ightarrowmathbb{R}满足：

gamma(t)=gamma(a)+int_{a}^{t}kappa(s)ds, in[a,b]。

1.1，Caratheodory解

受到这个定义的启发，我们可以先考虑一下右端不连续微分方程的Caratheodory解。

考虑如下右端不连续微分方程：

dotx(t)=X(x(t)),x(t_0)=x_0，它的Caratheodory解被定义为

x(t)=x(t_{0})+int_{t_{0}}^{t}X(x(s))ds, >t_{0}，其中积分符号的含义是勒贝格积分。

考虑一下上式，虽然X(x(t))是不连续的，但x(t)总是连续的。这种情况被称为绝对连续的解。不绝对连续的解被称为“Solutionswithjumps”，本文暂时不考虑这种情况。

那么要怎么理解Caratheodory解呢？由于勒贝格积分的性质，零测集上的勒贝格积分为零，所以如果X(x(t))上的间断点都属于零测集，那么系统在间断点上的行为不影响Caratheodory解的最终形式（是吗？）。从场的角度来看，Caratheodory解给出的曲线只要在连续部分跟场的向量一致即可。

小结：如果能确定微分方程的所有非连续点组成零测集，比如上一节中的非连续谐振系统，那么可以开心地使用Caratheodory解来描述系统的解。

1.2，Filippov解

从上一节可知，Caratheodory解背后的思想是，如果某些点可以忽略，那么就把它们忽略掉。这种做法简单粗暴，但在某些情况下太过粗糙，没法给出系统的行为信息。例如，考虑如下的包含n个一阶积分器的多智能体系统：

dot{p}_{i}=frac{p_{i}(t)-mathcal{N}_{i}(p_{1}(t),cdots,p_{n}(t))}{|p_{i}(t)-mathcal{N}_{i}(p_{1}(t),cdots,p_{n}(t))|_{2}}，其中mathcal{N}_{i}是邻居选择器：

mathcal{N}_{i}(p_{1},cdots,p_{n})inargmin{|p_{i}-q|_{2}:qin{p_{1},cdots,p_{n}}ackslash{p_{i}}}。

可见，每个智能体只与距离最近的一个或若干个智能体交互。在这种情况下，Caratheodory解不够用（具体是为什么呢？？？），我们需要一种新形式的Filippov解来描述这种系统。

同样考虑右端不连续系统：

dotx(t)=X(x(t)),x(t_0)=x_0，它的Filippov解被定义为一种微分包含（differentialinclusion）的形式：

dot{x}(t)inmathcal{F}(x(t))，其中mathcal{F}:mathbb{R}^{d} ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^{d})是个映射，而且mathfrak{B}(mathbb{R}^{d})表示mathbb{R}^{d}所有子集的集合。（我已经晕了）简单地讲，就是在某个时刻t，dot{x}(t)是某个根据x(t)生成的集合的元素。

再形象一点，从场的角度来看，既然我们不知道系统的状态曲线在非连续处是怎么前进的，也不能忽略这些非连续处带来的影响，那么一个简单的思想是，给出一组可能的前进方向，并且这些前进方向的信息，由非连续处附近的连续部分提供。

Filippov解的表达依赖于微分包含与集值映射。标准的方程是指的将一个向量映射为另一个向量，而集值映射是将一个向量映射为多个向量的集合，因而也称之为多值映射。微分包含的意思是给系统提供一组前进方向，而不是经典情况下唯一前进方向。

小结：如果可以根据系统状态获取非连续处的微分包含，我们就可以用Filippov解给出系统行为的集合，任君选择。

1.3，Sample-and-hold解

从上一节来看，Filippov解已经可以解决大部分情况，但是不幸的是依然存在一些障碍使得Filippov解失效（我私下猜测是因为如果非连续部分的临域中找不到光滑部分，那么集值映射会失效的缘故）。考虑如下系统：

dotx=x[(u-1)^2-(x-1)][(u+1)^2+(x-2)]。该系统不存在连续的控制器u使得系统在原点稳定，而且无法使用Filippov解刻画（为啥？）

Sample-and-hold解基于时间划分来给出解的。时间段[t_0,t_1]的划分是一个递增序列：

pi={s_i}_{i=0}^{N},s_0=t_0,s_N=t_1。当然t_1是可以趋向于+infty的。基于时间划分，可以根据控制其器u:[0,infty) imesmathbb{R}^{d} ightarrowmathcal{U}，初始值x_0，定义pi解（Sample-and-hold解）为

dotx(t)=X(x(t),u(s_{i-1},x(s_{i-1})))的Caratheodory解。

（晕了晕了晕了）

小结：Sample-and-hold解要求控制输入在每个时间段内保持不变，然后求每一段的Caratheodory解。哦，将系统时间触发或者时间量化，问题就解决了，为啥捏？？？？

2，解的存在性、唯一性、稳定性

众所周知，即便是普通的右端连续微分方程，它的解的唯一性都不能保证（啊哈？有这事？）。所以不意外，无论选择哪种解，右端不连续微分方程的解都有可能不唯一。这个问题在我们考虑局部稳定性时必须加以考虑。

以连续系统为例，系统从初始状态触发，它的解，即轨迹可能会有多条。如果存在至少存在一条轨迹收敛到某个点，那么该点称之为弱稳定平衡点。类似的，如果所有轨迹都收敛于某个点，那么称改点为强稳定平衡点。

弱稳定平衡点和强稳定平衡点同样适用于右端不连续系统。为了证明非连续系统的稳定性，光滑的Lyapunov函数是不适用的。为了说明不同的稳定性，我们还需要引入局部Lipschitz方程和proximalsubdifferentialofalowersemicontinuous方程。

非连续控制系统的稳定性证明主要由两种方法。其一是选择一个特定的输入，然后将整个系统看作一个整体。第二种方法是用一个集值函数跟系统对应起来。我们更倾向于后者。

下面对三种性质分别举出正反示例。

2.1经典解的存在性

考虑如下系统：

dotx(t)=X(x(t))，其中X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d是个向量场。如果0=X(x_e)那么x_einmathbb{R}^d是上述系统的平衡点。并且上述系统的典型解被定义为满足其方程的连续可微映射：x:[0,t_1] ightarrowmathbb{R}^d。我们用tmapstox(t)表示初始值为x(0)的经典解。如果经典解在时间上无法向前扩张，那么称之为最大化。换句话说，如果我们把时间t_1扩大一些，那么经典解不是新的解截断后部之后的结果。

命题1：如果X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d连续，那么一定存在一个经典解。

如果X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d不连续，那么经典解可以不存在。

【反例】考虑如下系统：

X(x)=egin{cases}-1&0<x1&xleq0end{cases}

说明：假设存在一个连续可微的方程x:[0,t_1] ightarrowmathbb{R}^d同时保证dotx=X(x(t))和x(0)=0，那么一定有dotx(0)=X(x(0))=X(0)=1成立，就是说，对于所有足够小的正数t，有x(t)>0从而导致dotx=X(x(t))=-1，这就与tmapstox(t)矛盾。从而，不存在以0位初始值的经典解。

【正例】考虑如下系统：

X(x)=-sign(x)=egin{cases}-1&0<x&x=01&xleq0end{cases}

说明：如果x(0)>0，那么最大化的解x:[0,x(0)) ightarrowmathbb{R}是x(t)=x(0)-t；如果x(0)<0，那么最大化解x:[0,-x(0)) ightarrowmathbb{R}是x(t)=x(0)+t；如果x(0)=0，那么最大化解x:[0,infty) ightarrowmathbb{R}是x(t)=0。由此，dotx(t)=X(x(t))在任意初始值具有一个经典解。

（有谁看懂了？我还是不理解最大化。。。而且最后的结论是怎么得到的？）

2.2经典解的唯一性

经典解的唯一性是指，方程的任意两个解在同样的时间段内都是重叠的。能保证经典解的唯一性的条件有很多，本文讨论基于单边李普希兹（one-sideLipschitzness）的解唯一性条件。

首先给出局部李普希兹条件。

向量场X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d被称为是局部李普希兹的，如果下述条件成立：存在一个L>0使得

|X(y)-X(y')|_2leqL|y-y'|_2^2对于任意y,y'成立。

向量场X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d被称为是单边李普希兹的，如果下述条件成立：存在一个L>0使得

[X(y)-X(y')]^T(y-y')leqL|y-y'|_2^2对于任意y,y'成立。

命题2：使X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d是连续的。假设对所有的xinmathbb{R}^d，都存在varepsilon>0使得X是单边李普希兹的，那么，对与所有的xinmathbb{R}^d，dotx(t)=X(x(t))存在以x(0)=x_0的经典解。

满足局部李普希兹条件的映射一定是单边李普希兹的，但反过来不成立。其次，单边李普希兹的映射也可以是不连续的。比如dotx=-sign(x)。

推论1：使X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d是局部李普希兹的，那么对与所有的xinmathbb{R}^d，dotx(t)=X(x(t))存在以x(0)=x_0的经典解。

【示例】：具有非唯一经典解的连续、非单边李普希兹向量场。

考虑如下向量场：

X(x)=sqrt{|x|}，显然，它有无数条发散的解。

【示例】：具有唯一经典解的连续、非单边李普希兹向量场。

考虑如下向量场：

X(x)=egin{cases}-xlogx&0<x&x=0xlog(-x)&x<0end{cases}

说明：如果x(0)>0，那么最大化的解x:[0,infty) ightarrowmathbb{R}是x(t)=e^{log{x_0}e^{-t}}；如果x(0)<0，那么最大化解x:[0,infty) ightarrowmathbb{R}是x(t)=-e^{log{x_0}e^{-t}}；如果x(0)=0，那么最大化解x:[0,infty) ightarrowmathbb{R}是x(t)=0。由此，dotx(t)=X(x(t))在任意初始值具有唯一的经典解。

2.3经典解的稳定性

坑，待填之。

3,Caratheodory解

在第二节中，我们给出了Caratheodory解的定义。这里我们通过一些示例学习Caratheodory解的性质。

【示例1】没有经典解，具有Caratheodory解的系统：

考虑如下系统：

X(x)=egin{cases}-1&0<xfrac{1}{2}&x=01&x<0end{cases}

如果该系统的初始值是0的话，那么没有经典解存在。然而，此时系统存在两个Caratheodory解，其中一个是x(t)=t，另一个是x(t)=-t。

【示例2】非光滑谐振系统：

ddotx(t)=-sign(x(t))

如果该系统的初始值dotx(0)=0，那么不存在经典解，但是此时存在Caratheodory解。

【示例3】不存在Caratheodory解的系统。

第二章给出了一个使用最近邻信息的多智能体一致性控制器，为了简化，我们考虑一个单智能体系统。该智能体运行在空间[-1,1]^2inmathbb{R}^2中。注意该空间具有一个多边形（正方形）边界。我们规定智能体总是倾向于离开距离它最近的多边形顶点，即{[1,1],[1,-1],[-1,1],[-1,-1]}。系统可以表示为：

X(x_{1},x_{2})=egin{cases}(-1,0)&-x_{1}<x_{2}<x_{1}(0,1)&x_{2}<x1leq-x_{2}(1,0)&x_{1}leqx_{2}<-x_{1}(0,-1)&-x_{2}leqx_{1}<x_{2}end{cases}

从向量场图中容易看出，一方面，如果系统的初始状态位于对角线上，那么系统不存在Caratheodory解。另一方面，系统状态总是倾向于前往对角线。于是我们总结系统的初始值非零，那么系统的Caratheodory解不存在。

4，Filippov解

（终于进入正题了，明天继续^_^）

上一节中讨论到Caratheodory解怎样在属于零测集的非连续点放宽要求的。但是这种做法不能保证解的存在。导致解不存在的原因可以归结为，无论我们在非连续点的附近怎样选取另外一个点，这两个点对应的向量总是存在不可忽视的差异。

那么如果我们不注重单个点与单个点对应的向量的差异，转而关心某个点及其临域的向量场是怎么样子呢？研究某个点的临域的向量场是Filippov解的关键所在。同样考虑临域向量场的方法还有Krasovskii解和Sentis解。

这种思想的数学表达形式是使用之前提过的集值映射。对于每个xinmathbb{R}^d，向量场x:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d用来估计所有属于B(x,delta)的点，其中B(x,delta)是以x为中心，以delta为半径的圆域。在估计过程中，我们不断减小delta的值，然后观察其带来的效应。为了灵活起见，我们选择忽视所有B(x,delta)内的零测集，这样两个只有在零测集上不同的向量场将得到同样的结果。

4.1Filippov解的数学形式

上树的过程可以别严格的表达如下。我们令mathfrak{B}(mathbb{R}^d)表示所有mathbb{R}^d的子集的集合。对任意的向量场x:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d，定义Filippov集值映射F[X]:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)为：

F[X](x) riangleqigcap_{delta>0}igcap_{mu(S)>0}ar{co}{X(B(x,delta)setminusS)}.xinmathbb{R}^d

其中ar{co}表示凸闭包，mu表示勒贝格测度。需要注意的是，根据这种定义，F[X]在点x的值与向量场X在x的值无关。（疑问，为何要用凸包？）

4.2集值映射以及Filippov解的示例

【示例1】sign函数的集值映射

考虑如下两个向量场：

X(x)=egin{cases}-1&x>01&xleq0end{cases}和X(x)=egin{cases}-1&x>0&x=01&x<0end{cases}，它们的集值映射都是

F[X](x)=egin{cases}-1&x>0[-1,1]&x=01&x<0end{cases}。注意当x=0时，集值映射的结果是个集合的形式。如此，我们可以记为：

dotx(t)inF[X](x(t))。

命题3：如果向量场X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d是可测的，不包含零测集的，而且是locallyessentiallybounded（对每一个点的有界临域都是有界的），那么系统存在以x(0)为初值的Filippov解。

【示例2】sign函数的Filippov解的存在性

既然X(x)=egin{cases}-1&x>01&xleq0end{cases}和X(x)=egin{cases}-1&x>0&x=01&x<0end{cases}具有相同的集值映射，那么它们也具有相同的最大Filippov解：

当x(0)>0时，其最大Filippov解是x(t)=egin{cases}x(0)-t&tleqx(0)&tgeqx(0)end{cases}；当x(0)<0时，其最大Filippov解是x(t)=egin{cases}x(0)+t&tleq-x(0)&tgeq-x(0)end{cases}；当x(0)=0时，其最大Filippov解是x(t)=0。

【示例3】最近邻选择系统的Filippov解

该系统在上一节提及，即位置被限制在[-1,1]^2inmathbb{R}^2的系统。该系统初始值在对角线上的Filippov解是：

tmapstox(t)=egin{cases}(a-frac{1}{2}sign(a)t,a-frac{1}{2}sign(a)t&tleq|a|(0,0)&t>|a|end{cases}

4.3Filippov解与Caratheodory解的关联

一般来说，这两种解没有关联。比如，系统有多个Filippov解，但其中一个或多个不是Caratheodory解。也可能系统存在多个Caratheodory解，但其中一个或多个不是Filippov解。

【示例4】考虑如下向量场：

X(x)=egin{cases}1&x e0&x=0end{cases}

它的Caratheodory解有x_1(t)=0和x_2(t)=t。然而它的Filippov解只有tmapstox_2(t)。

4.4Filippov集值映射的计算

Filippov集值映射的计算可能令人感到呵呵。这里我们给出一些集值映射的性质与技巧。需要注意的是，Filippov集值映射可以由场X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m，其中d和m不必须相等。
【性质1】相容性

如果X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m在xinmathbb{R}^d上连续，那么有F[X](x)={X(x)}。

【性质2】加法规则

如果X_1,X_2:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m在xinmathbb{R}^d上是局部有界的，那么

F[X_1+X_2](x)subseteqF[X_1](x)+F[X_2](x)成立。

【性质3】乘法规则

如果X_1:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m和X_2:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m在xinmathbb{R}^d上都是局部有界的，那么

F[(X_1,X_2)^T](x)subseteqF[X_1](x) imesF[X_2](x)成立。

【性质4】链式法则

如果varUpsilon:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^n在xinmathbb{R}^d上都是连续可微且具有秩为n的雅克比矩阵，并且X:mathbb{R}^n ightarrowmathbb{R}^m在xinmathbb{R}^d上局部有界，那么

F[XcircvarUpsilon](x)=F[X](varUpsilon(x))成立。

【性质5】矩阵变换规则

如果X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m在xinmathbb{R}^d上局部有界，并且Z:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^{d imesm}在xinmathbb{R}^d上连续，那么

F[ZX](x)=Z(x)F[X](x)成立。

（哇，看了这么多性质，我还是不会求集值映射，囧）

4.5分段连续向量场

这一小节，我们考虑这样的一种向量场，它除了在一个分隔面上不连续，在其余所有地方都连续。这样的系统也是控制理论中最常见的一种非连续控制系统。

向量场X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d是分段连续的，如果存在一个有限的，不相交的，连接的，开集D_1,cdots,D_msubsetmathbb{R}^d，使得mathbb{R}^d=cup_{k=1}^{m}ar{D}_k,k=1,cdots,m。也就是说，存在一些列有限的不相交又连接在一起的开集，它们可以覆盖住整个空间。进一步，为了把向量场X对应到D_k，需要假设存在一个ar{D}_k的连续改进，并且表示为X_{ar{|D_k}}。这样，X中非连续部分的每一个点都被强制从属于D_1,cdots,D_m的边的合集上。我们用S_X表示这些非连续部分的点，那么我们可以得到S_Xsubseteqbndry(D_1)cupcdotscupbndry(D_m)。

分段连续向量场的Filippov集值映射可以表示为：

F[X](x)=ar{co}left{lim_{t ightarrowinfty}X(x_i):x_i ightarrowx,x_i otinS_x ight}。

这种机制映射的计算可以分为两个步骤。第一步，如果x otinS_X，那么由于相容性，可以得出F[X](x)={X(x)}。第二步，如果xinS_X，那么F[X](x)是mathbb{R}^d上的凸多面体，其形式为：

F[X](x)=ar{co}left{X_{ar{D_k}}left(x ight):xinbndryleft(D_k ight) ight}。

下面看看示例，加深理解。

【示例1】考虑一个在具有 heta倾角的斜坡上滑行的质点，用v表示质点的速度。

dotv(t)=gsin heta-vgcos hetasign(v(t))，其中g是重力加速度。

首先，我们根据其向量场划分两个区域D_1={vinmathbb{R}:v<0}和D_2={vinmathbb{R}:v>0}。下一步，做连续性扩张，可得ar{D_1}和ar{D_2}，它们的初值分别为X_{ar{D_1}}(0)=g(sin heta+vcos heta)和X_{ar{D_2}}(0)=g(sin heta-vcos heta)。这样，我们可以获得向量场的Filippov集值映射：

F[X](v)=egin{cases}{g(sin heta-vcos heta)}&v>0{g(sin heta-dcdotvcos heta):din[-1,1]}&v=0{g(sin heta+vcos heta)}&v<0end{cases}

【示例2】考虑如下非光滑谐振系统。

left{egin{array}{ccc}dot{x}(t)&=&v(t)dot{v}(t)&=&-sign(x(t))end{array} ight.

我们可以找出两个开区域D_1,D_2表示为：

D_1={(x,v)inmathbb{R}^2:x<0}D_2={(x,v)inmathbb{R}^2:x>0}

不连续集是S_X={(0,v):vinmathbb{R}^2}。它的Filippov集值映射表达为：

F[X](x,v)=egin{cases}{v,-sign(x)}&x e0{v} imes[-1,1]&x=0end{cases}。

4.6滑膜运动

这一小节用来解释滑模控制的思想。这里的滑膜可以认为是两个开区域的共同边缘。

坑，待填之。

4.7Filippov解的唯一性

非连续系统的任意初值Filippov解不是一定会唯一。例如，系统dotx(t)=sign(x(t)),xinmathbb{R}^1在x(0)=0处有三个Filippov解：

egin{array}{c}x_1(t)&=&tx_2(t)&=&-tx_3(t)&=&0end{array}

【命题1】使X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d可测并且局部本质有界（locallyensentiallybounded）。假设对于所有的xinmathbb{R}^d，都存在一个varepsilon>0从而满足X在B(x,varepsilon)上是单边李普希兹的。这样，对于所有的xinmathbb{R}^d，存在唯一的以x(0)=x_0的Filippov解。

【示例2】具有唯一Filipov解的例子

用mathbb{Q}表示所有比例数（有理数）的集合，并且定义向量场如下：

X(x)=egin{cases}1&xinmathbb{Q}-1&x otinmathbb{Q}end{cases}

众所周知，集合mathbb{Q}的测度是零，那么该向量场的Filippov集值映射即为F[X](x)={-1}，那么该向量场的Filippov解就是x:{0,infty) ightarrowmathbb{R}，其中x(t)=x(0)-t。

上述命题里的单边李普希兹假设在处理分段连续向量场的情况中，会显得太强。（分段连续向量场不能满足单边李普希兹条件？还是不能总是满足该条件？）我们继续引入新的命题来处理这种情况。

【命题2】

令X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d表示分段连续向量场，并且有两个分割mathbb{R}^d=D_1cupD_2。令S_X=bndry(D_1)=bndry(D_2)表示不连续点的集合，并且假设S_X是一个C^2流行。进一步，假设对于iin{1,2}，X_{ar{|D_i}}在D_i上连续可微，并且X_{ar{|D_1}}-X_{ar{|D_2}}在S_X上连续可微。如果，对于每个xinS_X，如果一下两点任意一个成立，那么存在唯一的任意初值的Filippov解：1）X_{ar{|D_1}}指向D_22)X_{ar{|D_2}}指向D_1。

4.8具有非连续输入的控制系统的解

坑，待填之。

5，非光滑分析

这一章我们考虑非光滑情形下Lyapunov候选函数的问题。

考虑如下系统：dotx(t)=-sign(x(t))，该系统可以使用光滑的Lyapunov函数来说明其稳定性：V=x^2/2。如此，可得dotV=xcdotsign(x)=-|x|<0（x e0的情况下）。

然而，对于系统ddotx(t)=-sign(x(t)，不存在光滑的Lyapunov候选函数。可见，研究非光滑分析是必要的。

5.1局部李普希兹函数的广义梯度

由Rademacher定理，任何在勒贝格测度意义下的局部李普希兹函数在几乎所有位置都是可微的。这样我们考虑选择满足局部李普希兹条件的函数作为候选。然而这回引起另外一个问题，那就是我们要怎样对待不存在梯度的那些点呢？

我们用f表示一个局部李普希兹函数，用Omega_finmathbb{R}^d表示不可微的点的集合，那么广义向量被定义为：

partialf(x) riangleqcoleft{lim_{i ightarrowinfty} ablaf(x_i):x_i ightarrowx,x_i otinScupOmega_f ight}，其中co表示凸包，Ssubsetmathbb{R}^d表示被任意选取的零测集。需要注意的是，partialf(x)的最终结果跟S的选取是无关的。

下面，我们给出一个关于如上定义的广义梯度的性质。

【命题】如果f：mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d在xinmathbb{R}^d上局部李普希兹，那么下述声明成立：

【示例】令f(x)=|x|，那么

partialf(x)=egin{cases}{1}&x>0[-1,1]&x=0{-1}&x<0end{cases}

【示例】令f(x)=x^2/sin(1/x)，那么

partialf(x)=egin{cases}[-1,1]&x=02xsin(1/x)-cos(1/x)&x e0end{cases}（？？？怎么算的？）

5.2广义梯度的计算

计算局部李普希兹函数的广义梯度一般是个困难的任务。我们给出一些有用的广义积分的性质。

【性质1】扩张规则：

如果f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是在xinmathbb{R}^d处局部李普希兹的，并且有sinmathbb{R}，那么函数s_1f_1+s_2f_2在xinmathbb{R}^d处也是局部李普希兹的，并且有partial(sf)(x)=spartialf(x)。

【性质2】加法规则：

如果f_1,f_2:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是在xinmathbb{R}^d处局部李普希兹的，并且有s_1,s_2inmathbb{R}，那么函数s_1f_1+s_2f_2在xinmathbb{R}^d处也是局部李普希兹的，并且有partial(s_1f_1+s_2f_2)(x)subseteqs_1partialf_1(x)+s_2partialf_2(x)。此外，如果f_1,f_2在x处是正则的并且s_1,s_2in[0,infty)，那么函数s_1f_1+s_2f_2在x处也是正则的。

【性质3】乘法规则：

如果f_1,f_2:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是在xinmathbb{R}^d处局部李普希兹的，函数f_1f_2是在xinmathbb{R}^d处局部李普希兹的，那么有partial(f_1f_2)(x)subseteqf_2(x)partialf_1(x)+f_1(x)partialf_2(x)。进一步，，如果f_1,f_2在x处是正则的并且f_1,f_2in[0,infty)，那么上世取等号并且函数f_1f_2在x处也是正则的。

【性质4】商法则：

如果f_1,f_2:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是在xinmathbb{R}^d处局部李普希兹的，并且f_2(x) e0，那么函数f_1/f_2在x处是局部李普希兹的，并且有

partial(frac{f_1}{f_2})(x)subseteqfrac{1}{f_2^2(x)}(f_2(x)partialf_1(x)-f_1(x)partialf_2(x))。进一步，如果f_1和-f_2在x是正则的并且f_1,f_2>0，那么上式取等号且f_1/f_2在x处正则。

【性质5】链式法则：

如果h:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m的每一个部分在x处都是局部李普希兹的，并且g:mathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}在h(x)处是局部李普希兹的，那么方程gcirch在x处也是局部李普希兹的，并且

egin{array}partial(gcirch)(x)&subseteq&coleft{sum_{k=1}^{m}alpha_{k}zeta_{k}: ight.&&(alpha_{1},cdots,alpha_{m})inpartialg(h(x)),&&left.(zeta_{1},cdots,zeta_{m})inpartialh_{1}(x) imescdots imespartialh_{m}(x) ight}end{array}，进一步，如果g:mathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}在h(x)处是正则的，h:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m的每一个部分在x处也都是正则的，并且partialg(h(x))subset[0,infty)^m，那么上式取等号且gcirch在x处是正则的。

下面，我们给出一些关于函数集合的广义梯度的最大值和最小值的结论。

【命题】对于kin{1,cdots,m}，令f_k:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}在xinmathbb{R}^d处局部李普希兹，定义方程f_{max},f_{min}:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}：

f_{max}(y) riangleqmax{f_k(y):kin{1,cdots,m}},f_{min}(y) riangleqmin{f_k(y):kin{1,cdots,m}}.

那么，下列声明成立：

i)f_{min}和f_{max}在x处是局部李普希兹的。

ii)令I_{max}(x)表示以k为下标满足f_k(x)=f_{max}(x)的集合，那么有

partialf_{max}subseteqcoigcup{partialf_i(x):iinI_{max}(x)}。进一步，如果f_i对于所有的iinI_{max}(x)在x处正则，那么上式取等号并且f_{max}在x上也正则。

iii)令I_{min}(x)表示以k为下标满足f_k(x)=f_{min}(x)的集合，那么

partialf_{min}subseteqcoigcup{partialf_i(x):iinI_{min}(x)}。进一步，如果-f_i对于所有的iinI_{min}(x)在x处正则，那么上式取等号并且-f_{min}在x上也正则。

根据该命题，有限个连续可微函数的极大值是局部李普希兹和正则的，这样它在x处的广义梯度就是在x处取极大值的函数的梯度的凸包。

（为何要引入极大值和极小值这两个概念？？？）

【示例1】绝对值函数的广义梯度

令f(x)=|x|，那么其广义梯度为

partialf_x=egin{cases}{1}&x>0[-1,1]&x=0{-1}&x<0end{cases}。注意，该函数可以表达为f(x)=max{x,-x}，根据上述内容，f_x是两个连续可微的函数的极大值，所以它是局部李普希兹的也是正则的。这样没我们就可以知道f_x也是局部李普希兹的，也是正则的。

【示例2】负绝对值函数的广义梯度

令f(x)=-|x|，那么其广义梯度为

partialf_x=egin{cases}{-1}&x>0[-1,1]&x=0{1}&x<0end{cases}。需要看到，虽然此时函数不正则，但我们依然可以按照定义给出其广义梯度。

5.3临界点和下降方向

函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}的临界点是满足0inpartialf(x)的点。根据这个定义，局部李普希兹函数的极大值点和极小值点都是临界点。比如，x=0是函数f(x)=|x|的极小值点，因而有0inpartialf(0)。

如果函数f是连续可微的，那么它的梯度- ablaf提供最大下降的方向（一般梯度下降的原理）。如果f是局部李普希兹的，那么怎样在所有可能中选取最大下降方向成了一个问题。注意，我们只讨论下降的方向，不讨论下降的程度（类似于不讨论梯度的模）。

令Ln:mathfrak{B}(mathbb{R}^d) ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)表示集合Sinmathbb{R}^d和及其闭包ar{S}中最小范数元素组成的集合的关系。如果S是凸的，闭包的，那么Ln(S)是单映射，可以理解为是零元素到S的正交投影。对于局部李普希兹函数f，定义其广义梯度向量场Ln(partialf):mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d如下：

xmapstoLn(partialf)(x) riangleqLn(partialf(x))，

如此，-Ln(partialf)(x)就是所需的下降方向。进一步的，如果0 otinpartialf(x)，那么存在T>0，从而满足

f(x-tLn(partialf)(x))leqf(x)-frac{t}{2}|Ln(partialf)(x)|_2^2<f(x),0<t<T

就是说，如果沿着-Ln(partialf)(x)更新一个小步长，那么可以保证函数f下降，并且下降的幅度与步长成线性关系。

5.4非光滑梯度下降流

给定一个局部李普希兹函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}，与普通的梯度下降流类似，其非光滑的梯度下降流记为：

dotx(t)=-Ln(partialf)(x(t))。如上系统的解应当是什么样的呢？我们选择用FIlippov解来描述，这是因为Filippov集值映射可以很好地把非光滑梯度流和广义梯度联系起来。

【命题】非光滑梯度的Filippov集值映射

如果f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是局部李普希兹的，那么f的非光滑梯度的Filippov集值映射F[Ln(partialf)]:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)与广义梯度partialf:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)相等，也即：

F[Ln(partialf)](x)=partialf(x)。

这样，上述系统就可以转化为：

dotx(t)=-partialf(x(t))。

由于这种做法选择了最小模的方式，所以它也被称为“慢动作”。接下里的问题就是怎样分析上述系统的收敛性呢？不变集原理告诉我们，具有有限的水平集的连续可微系统，它的解会趋向于水平集内的临界点。这就是分析系统的关键点所在。为此，我们需要引入新的概念，这就是李导数方法。

5.5下半连续的近端次微分

近端次微分的概念会引出一整套处理非光滑分析系统的李雅普诺夫函数的工具。这种方法的优势在于其对下半连续的定义，这是一种比局部李普希兹更大的概念。广义梯度为我们提供下降方向，在我们也要付出代价。这代价是一般我们不能精确地得知其近端次微分的数值。尽管如此，近端次微分提供了分析函数单调性的能力，这样就为分析系统稳定性提供了帮助。一般，近端次微分适合于凸分析，所以读者可以了解一下凸分析的相关知识。

函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是在xinmathbb{R}^d下半连续的，如果对于任何epsilonin(0,infty)，总是存在deltain(0,infty)，且满足对于任意的点yinB(x,delta)，f(x)geqf(x)-epsilon。令函数f的上方图（epigraph）表示所有位于函数上或者上面的点组成的集合。那么f是下半连续的，跟其上方图是闭集（closed）是等价的。此外，如果-f是下半连续的，那么f就是上半连续的。更进一步，如果f既是上半连续的，也是下半连续的，那么f就是连续的。

对于下半连续函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}，向量zetainmathbb{R}^d是f在xinmathbb{R}^d处的近端次梯度，如果存在sigma,deltain(0,infty)，使得对于所有的yinB(x,delta),

f(y)geqf(x)+zeta(y-x)-sigma^2|y-x|_2^2成立。

函数f在xinmathbb{R}^d处的所有的近端次梯度组成的集合partial_pf(x)被称为近端次微分。这个集合可以是空集，但是一定是凸集，并且不一定是开集、闭集或者有限集。

从几何图形上来说，近端次梯度可以理解为，在f的上方图的x处，每个次梯度对应一条在x相切的抛物线，不仅如此，还可以对应以x为顶点的近端法向锥（proximalnormalcone）内包含的向量。（不知道理解的是否正确？？？）

【示例】绝对值函数与负绝对值函数的近端次微分

令f(x)=|x|,g(x)=-|x|，那么根据几何含义，可以看出：

partial_pf(x)=egin{cases}{1}&x<0[-1,1]&x=0{-1}&x>0end{cases}partial_pg(x)=egin{cases}{-1}&x<0{emptyset}&x=0{1}&x>0end{cases}

与广义梯度不同，对于连续可微的函数f，其近端次微分于其梯度不等。例如函数f(x)=-|x|^{3/2}，其在x=0的梯度为 ablaf(0)=0，但是其对应的近端次微分partial_pf(0)=emptyset。事实上，连续可微的函数可以几乎在所有位置具有空集的近端次微分。但在另一方面，近端次微分比广义梯度用处更大，比如：

【示例】绝对值平方根函数的近端次微分

考虑函数f=sqrt{|x|}，该函数在0处连续但非局部李普希兹，并且0是f的全局最小值处。f在0处不存在广义梯度，这样我们就不能将x=0视作临界点。然而，f是下半连续，并且其近端次微分是：

partial_pf(x)=egin{cases}{frac{1}{2sqrt{x}}},&x>0mathbb{R},&x=0{-frac{1}{2sqrt{-x}}},&x<0end{cases}。

后面我们讨论，零是该函数的全局唯一最小值处。

如果f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}在xinmathbb{R}^d上是局部李普希兹的，那么它在x处的近端次微分是有界的。

5.6近端次微分的计算

与广义梯度相比，近端次微分的计算可谓非常不直接。这里我们提供一些有用的结论。

【扩张规则】：如果f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}在xinmathbb{R}^d处是下半连续的，并且sin(0,infty)，那么sf在x处也是下半连续的，并且partial_p(sf)(x)=spartial_pf(x)。

【加法规则】：如果f_1,f_2:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}在xinmathbb{R}^d处时下半连续的，那么f_1+f_2在x处也是下半连续的，并且partial_pf_1(X)+partial_pf_2(x)subseteqpartial_p(f_1+f_2)(x)。

【模糊加法规则】：如果f_1,f_2:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}在xinmathbb{R}^d处时下半连续的，zetainpartial_p(f_1+f_2)(x)，并且varepsilon>0，那么存在x_1,x_2inB(x,varepsilon)且有|f_i(x_i)-f_i(x)|<varepsilon,iin{1,2}，那么有

zetainpartial_pf_1(x_1)+partial_pf_2(x_2)+varepsilonB(0,1)。

【链式法则】假设要么h:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m是线性的并且g:mathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}在h(x)inmathbb{R}^m处下半连续，要么h:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m是在xinmathbb{R}^d处局部李普希兹并且g:mathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}在h(x)inmathbb{R}^m处局部李普希兹。如果zetainpartial_p(gcirch)(x)且有varepsilon>0，那么存在 ilde{x}inmathbb{R}^d, ilde{y}inmathbb{R}^m，并且gammainpartial_pg( ilde{y})，max(| ilde{x}-x|_2,| ilde{y}-h(x)|_2)<varepsilon与|h( ilde{x})-h(x)|_2<varepsilon以及·

zetainpartial_p(gamma^Th)( ilde{x})+varepsilonB(0,1)，其中gamma^Th:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}被定义为(gamma^Th)(x)=gamma^Th(x)。

（这个链式法则复杂爆了~~~）

这个链式法则展示了近端次微分的性质。这就是，相比于关注某一个点，近端次微分自能通过该点临域内的点来表示。

二次连续可微函数的近端次微分的计算出乎意料的简单，如果f是二次连续可微的，那么partial_pf(x)={ ablaf(x)}。这种简单性也体现在处理连续可微的凸函数上。

【命题】如果f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是凸的，那么下述成立：

【示例】绝对值函数的近端次微分的计算

略

5.7凸函数的梯度微分包含

由于可能会出现空集，非光滑梯度流往往不能总是跟一个下半连续的函数对应起来。然而，我们可以为每一个凸函数对应一个非光滑梯度流。

令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是凸函数，考虑梯度微分包含：dotx(t)in-partial_pf(x(t))。

使用上述命题的结论，可知上式存在Caratheodory解。进一步的，其唯一的Caratheodory解展示如下：令zeta_1in-partial_pf(x(t)),zeta_2in-partial_pf(y)，可以得到f(y)geqf(x)-zeta_1(y-x)，f(x)geqf(y)-zeta_2(x-y)。如此，可以继续得到-zeta_1(y-x)leqf(y)-f(x)leq-zeta_2(y-x)，即为(zeta_1-zeta_2)(y-x)<0，从而说明xmapsto-partial_pf(x)满足单边李普希兹条件。由此说明其Caratheodory解是唯一的。

6非光滑稳定性分析

这一章，我们研究非连续动力系统的稳定性问题。我们关注如下微分动力系统：

dotx(t)inmathcal{F}(x(t))(*)，其中mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)是集值映射，并且假设它是上半连续且可测的。

回忆一下，之前我们提到解的稳定性有强弱之分。我们在这里也定义弱不变集和强不变集。弱不变集是指对所有x_0inM，M至少包含一个解。相应的，强不变集是指对所有x_0inM，M包含所有解。

我们还需要一些关于微分包含的其他概念。解tmapstox(t)的极限点x^*inmathbb{R}^d是指在上述系统的解，即序列{t_n}_{ninmathbb{R}}中，随着n ightarrowinfty有x(t_n) ightarrowx_*。我们用Omega(x)表示tmapstox(t)的极限点的集合，这样Omega(x)是个弱不变集。此外，如果tmapstox(t)存在于一个非空、有界、相连（connected）的集合，那么Omega(x)是非空、有界、相连并且随着t ightarrowinfty，x(t) ightarrowOmega(x)。

6.1非光滑Lyapunov函数的广义梯度意义下的稳定性分析

这一节我们讨论使用局部李普希兹条件和广义梯度概念进行稳定性分析的结论。

6.1.1李导数和单调性

稳定性分析的共识是使用Lyapunov函数沿轨道的单调性来分析系统的稳定性。（严格地）数学上，用于描述这种性质的方法称之为李导。

给定一个局部李普希兹函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)和一个集值映射mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)。以及集值映射形式的关于mathcal{F}在点x处的函数f的李导数 ilde{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)：

ilde{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f(x)={ainmathbb{R}:thereexistsvinmathcal{F}(x)such hateta^Tv=aforallzetainpartialf(x)}

如果mathcal{F}对每一个xinmathbb{R}^d都具有凸紧集，那么 ilde{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f(x)是闭集且有界的，也有可能是空集。如果f在x是连续可微的，那么 ilde{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f(x)={( ablaf(x))^Tv:vinmathcal{F}(x)}。集值映射李导数的作用在于，他允许我们研究函数f怎样沿着微分包含变化，无需精准地了解解的具体形式。

【命题】令x:[0,t_1] ightarrowmathbb{R}^d是微分包含（*）的解，令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是局部李普希兹且正则的，那么下列命题成立：

（我写的都是啥呀，要扛不住了）

给定非连续向量场X:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^d，考虑系统dotx(t)=X(x(t))的解。在这种情况下，我们是用 ilde{mathcal{L}}_Xf= ilde{mathcal{L}}_{F[X]}f。注意如果X在x处是连续的，那么有F{X}(x)={X(x)}，并且 ilde{mathcal{L}}_Xf是单集{mathcal{L}}_Xf，并且刚好是韩束f在x处沿着X的李导数。

【示例】非光滑谐振器的单调性。

考虑Lyapunov函数V=|x_1|+x_2^2/2。首先计算f的广义梯度，这需要把f重写为f(x_1,x_2)=max{x_1,-x_2}+x_2^2/2，这样使用加法规则可以得到

partialf(x_1,x_2)=egin{cases}{(sign(x_1),x_2)},&x_1 e0[-1,1] imes{x_2},&x_1=0end{cases}，这样，我们就可以计算其集值映射李导数为

ilde{mathcal{L}}_Xf(x_1,x_2)=egin{cases}{0},&x_1=0,emptyset,&x_1=0andx_2 e0,{0},&x_1=0andx_2=0.end{cases}

于是我们就可以知道，函数f是水平集。

6.2稳定性结论

上面关于单调性的论述的基石是局部李普希兹和广义梯度。上面的命题提供了局部李普希兹函数在非连续系统下的单调性的方法。如此，结合恰当的正定性意义下的Lyapunov函数，我们可以分析系统的稳定性。

【定理1】

令mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)是上半连续且可测的，令x_e表示微分包含的稳定集，令mathcal{D}subseteqmathbb{R}^d是个开集且和x_e相连。进一步的，令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}满足如下条件：

【示例】非光滑谐振系统的稳定性分析

考虑Lyapunov函数f:mathbb{R}^2 ightarrowmathbb{R}，f(x_1,x_2)=|x_1|+x_2^2/2。我们可以总结，零是强稳定点。从系统的场来看，零不是强渐进稳定点。如果给该谐振系统加上耗散项，系统向量场变为(x_1,x_2)mapsto(x_2,-sign(x_1)-kcdotsign(x_2))，那么零是系统的强渐进稳定点。此时，系统的Lyapunov候选函数保持不变，新的向量场的集值映射是

F[X](x_1,x_2)=egin{cases}{x_2,-sign(x_1)-kcdotsign(x_2)},&x_1 e0,x_2 e0{x_2} imes[-1-kcdotsign(x_2),1-kcdotsign(x_2)],&x_1=0,x_2 e0{0} imes[-sign(x_1)-k,-sign(x_1)+k],&x_1 e0,x_2=0{(x_1,x_2)|x_1in[-1,1],x_2in[-k,k]},&x_1=0,x_2=0end{cases}

那么其集值映射李导数为

ilde{mathcal{L}}_Xf(x_1,x_2)=egin{cases}-kcdotx_2cdotsign(x_2),&x_2 e0{0},&x_1 e0,x_2=0emptyset,&x_1=0,x_2=0end{cases}，从而得知 ilde{mathcal{L}}_Xf(x_1,x_2)<0foreach(x_1,x_2)inmathbb{R}^dackslash{x_1=0,x_2=0}，那么(x_1=0,x_2=0)零是全局渐进强稳定点。

【定理2】

令mathcal{L}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)是个上半连续且可测的集值映射，又令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是个局部李普希兹且正则的函数。令Sinmathbb{R}^d是系统xinmathcal{F}(x(t))的紧的强不变集，并且假设对于每一个yinS都有max ilde{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f(y)leq0成立。那么，所有从S出发的xinmathcal{F}(x(t))的解x:[0,infty] ightarrowmathbb{R}^d收敛到集合Sigcapoverline{{yinmathbb{R}^d:0in ilde{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f(y)}}中最大的弱不变集。

6.2.1非光滑梯度流的稳定性

考虑之前提到过的梯度流dotx(t)=-Ln(partialf)(x(t))，考虑一个局部李普希兹函数且正则的函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}，我们想知道f是怎样沿着梯度流的方向变化的。给定xinmathbb{R}^d，令ain ilde{mathcal{L}}_{-Ln(partialf)}f(x)。根据定义，存在vinF[-Ln(partialf)](x)对任意zetainpartialf(x)满足a=zeta^Tv。记住F[-Ln(partialf)](x)=-partialf(x)，那么我们总是可以挑选出一个zeta=-vinpartialf(x)，从而得到a=(-v)^Tvleq0。这样，f是单调递减的。进一步没，当且仅当0inpartialf(x)，有0in ilde{mathcal{L}}_{-Ln(partialf)}f(x)，也即0是f的临界点。

【命题】

令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是局部李普希兹且正则的，那么，f的严格极小值是非光滑梯度流的强稳定集。进一步，如果f的水平集是有界的，那么该梯度流的解渐进收敛到f的临界集。

【示例】非光滑梯度流-sm_Q的稳定性分析

考虑使用最近邻规则的梯度流-sm_Q，实际上它跟一个球在多边形中的情形类似。如果是使用最近邻的蜂拥问题呢？考虑若干个放置在多边形区域内的具有同样半径的小球，那么该系统的Lypunov函数是mathcal{H}(p_1,cdots,p_n)=min{frac{1}{2}|p_j-p_i|_2,dist(p_i,e):i ejin{1,cdots,n},eedgeofQ}

6.2.2非光滑梯度流的有限时间收敛

有限时间收敛一个非常好的性质，比如在控制机器人运动方面。

令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是个连续可微的函数，且f的所有水平集都是有界的。在这种情况下，我们知道dotx(t)=- ablaf(x(t))是渐进收敛到f的临界点的，但不是有限时间收敛的。考虑如下两种微分方程：

dotx(t)=-frac{ ablaf(x(t))}{| ablaf(x(t))|_2}dotx(t)=-sign( ablaf(x(t)))【命题】

令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是个二次连续可微函数，Sinmathbb{R}^d是紧集且是系统的强不变集。如果函数f的Hessian矩阵在其每一个临界点都是正定的，那么上述两个系统的解会在有限时间内收敛到f的最小值处。

【示例】有限时间一致性协议

取函数Phi_G(p_1,cdots,p_n)=frac{1}{2}sum_{(i,j)inE}||p_j-p_i|_2，那么依据上述两个梯度形式的多智能体协议是有限时间收敛的。

6.3基于近端次微分的非光滑Lyapunov函数稳定性分析

在一小节，我们所用下半连续的Lyapunov函数来分析微分包含系统的稳定性。

6.3.1李导数及其单调性

令mathcal{D}subseteqmathbb{R}^d是个开集、连接集。一个下半连续的函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}在mathcal{D}上关于集值映射mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)上是弱非增的，如果对于所有的yinmathcal{D}，存在一个从y开始，在mathcal{D}中结束的关于微分包含系统的解x:[0,t_1] ightarrowmathbb{R}^d，且满足f(x(t))leqf(x(0))=f(y)forall in[0,t_1]。此外，如果f是连续的，那么跟若非增等价的条件是f是单调非增的。

类似的，一个下半连续的函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}在mathcal{D}上关于集值映射mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)上是强非增的，如果对于所有的yinmathcal{D}，其所有的解都从y开始，在mathcal{D}中结束，且满足f(x(t))leqf(x(0))=f(y)forall in[0,t_1]。

给定一个非空、值是紧集的集值映射mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)，以及下半连续的的函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}，下集值李导数和上集值李导数underline{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f,overline{mathcal{L}}_{mathbb{F}}f:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)分别被定义为：

underline{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f(y) riangleq{ainmathbb{R}:thereexistszetainpartial_pf(y)such hata=min{zeta^Tv:vinmathcal{F}(y)}}overline{mathcal{L}}_{mathcal{F}}f(y) riangleq{ainmathbb{R}:thereexistszetainpartial_pf(y)such hata=max{zeta^Tv:vinmathcal{F}(y)}}

如果mathcal{F}的值是凸的，那么对每一个zetainpartial_pf(y)，集合{zeta^Tv:vinmathcal{F}(y)}具有闭区间[min{zeta^Tv:vinmathcal{F}(y)}]和[max{zeta^Tv:vinmathcal{F}(y)}]的形式。需要注意的是，上下集值李导数的值在某个y处可能是空集。

上下集值李导数对于下半连续函数的角色，就相当于集值李导数对于局部李普希兹函数的角色。上下集值李导数允许我们研究某个函数f怎样随着某个微分包含系统变化，却免去对微分包含的封闭解的需求。

【命题】

令mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)是上半连续且可测的集值映射，考虑微分包含系统dotx(t)inmathcal{F}(x(t))，令f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是个下半连续的函数，并且mathcal{D}subseteqmathbb{R}^d是个开集。那么，下列陈述成立：

【示例】考虑其如下mathbb{R}^2上的系统：Cartonacircle

left{egin{array}{}dot{x}_{1}&=&(x_1^2-x_2^2)udot{x}_{2}&=&2x_1x_2uend{array} ight.

令xX:mathbb{R}^2 imesmathbb{R} ightarrowmathbb{R}^2表示为X((x_1,x_2),u)=(x_1^2-x_2^2,2x_1x_2)u。考虑其相关联的集值映射G[X]:mathbb{R}^2 ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^2)定义为G[X](x_1,x_2)={X((x_1,x_2),u):uinmathbb{R}}。由于G[X]的值不是紧集，我们用一个非增的映射作为替代sigma:[0,infty) ightarrow[0,infty)，考虑其相应的集值映射mathcal{F}_{sigma}:mathbb{R}^2 ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^2)定义为mathcal(F)_sigma(x_1,x_2)={X((x_1,x_2),u)inmathbb{R}^2:|u|leqsigma(|x_1,x_2|_2)}。

考虑如下局部李普希兹函数f:mathbb{R}^2 ightarrowmathbb{R}

f(x_1,x_2)=egin{cases}frac{x_1^2+x_2^2}{sqrt{x_1^2+x_2^2+|x_1|}},&x e0,&x=0end{cases}。

第一步，我们计算f的近端次微分：

partial_pf(x_1,x_2)=egin{cases}left{left(-frac{x_1^2+x_2^2-2x_1sqrt{x_1^2+x_2^2}}{x_1^2+x_2^2+x_1sqrt{x_1^2+x_2^2}},frac{x_2(2x_1+sqrt{x_1^2+x_2^2})}{(x_1+sqrt{x_1^2+x_2^2})^2} ight) ight},&x_1>0,emptyset,&x_1=0,left{left(frac{x_1^2+x_2^2+2x_1sqrt{x_1^2+x_2^2}}{x_1^2+x_2^2-x_1sqrt{x_1^2+x_2^2}},frac{x_2(-2x_1+sqrt{x_1^2+x_2^2})}{(x_1-sqrt{x_1^2+x_2^2})^2} ight) ight},&x_1<0end{cases}

下一步，就可以计算出

{zeta^Tv:zetainpartial_pf(x_1,x_2),vinmathcal{F}_sigma(x_1.x_2)}=egin{cases}left{ufrac{(x_1^2+x_2^2)^2}{x_1^2+x_2^2+x_1sqrt{x_1^2+x_2^2}}:|u|leqsigma(|x_1,x_2|_2) ight},&x_1>0,emptyset,&x_1=0,left{-ufrac{(x_1^2+x_2^2)^2}{x_1^2+x_2^2-x_1sqrt{x_1^2+x_2^2}}:|u|leqsigma(|x_1,x_2|_2) ight},&x_1<0,end{cases}

接下来，就可以计算其上下集值李导数：

underline{mathcal{L}}_{mathcal{F}_sigma}f(x_1,x_2)=egin{cases}-sigma(|(x_1,x_2|_2)frac{(x_1^2+x_2^2)^{3/2}}{sqrt{x_1^2+x_2^2}+|x_1|},&x_1 e0,-infty,&x_1=0,end{cases}

overline{mathcal{L}}_{mathcal{F}_sigma}f(x_1,x_2)=egin{cases}sigma(|(x_1,x_2|_2)frac{(x_1^2+x_2^2)^{3/2}}{sqrt{x_1^2+x_2^2}+|x_1|},&x_1 e0,-infty,&x_1=0,end{cases}

所以有sup ilde{mathcal{L}}_{mathcal{F}_sigma}f(x_1,x_2)leq0成立，f在mathbb{R}^2上是单调非增的。

6.3.2稳定性结论

上一节展示了我们展示了怎样利用上半连续函数的单调性来检验微分包含系统的稳定性。这一小节，我们讨论基于局部李普希兹和广义梯度的方法（不是讨论过了吗？）

【定理3】

令mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathfrak{B}(mathbb{R}^d)是个上半连续且可测的集值映射。令x_e是微分包含系统dotx(t)=X(x(t))的平衡集，令mathcal{D}inmathbb{R}^d是个包含x_e的域x_einmathcal{D}。设函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}满足如下假设：

上述定理也有弱稳定集的版本。这需要把第一条中的局部李普希兹替换为连续，将第三条中的上集值李导数替换为下集值李导数。

这里那边讨论一下Lyapunovpair的问题。两个下半连续的方程f,g:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}，如果满足在平衡集x_einmathbb{R}^d上f(x),g(x)geq0，并且g(x)=0当且仅当x=x_e，而且f是径向无界的，以及supunderline{mathcal{L}}_mathcal{F}f(x)leq-g(x)，那么它们被称为Lyapunovpair。如果在x_e上能找到一个Lyapunovpair，那么在任意初始值都至少存在一个收敛到x_e的解。

【示例】Cartonacircle系统在原点的渐进稳定性。

这个示例用来说明弱稳定版本的定理3。令x_e=(0,0)，mathcal{D}inmathbb{R}^2，代入其下集值李导数，我们可以得到(0,0)是若全局渐进稳定点。

上述定理也可以推广到不变集理论

【定理4】

设mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是个下半连续且可测的集值映射，设有函数f:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}。假设要么mathcal{F}连续，f局部李普希兹，要么mathcal{F}局部李普希兹，f连续。设Sinmathbb{R}^d是个微分包含系统的紧的强不变集，并且对所有yinS满足supoverline{mathcal{F}}f(y)leq0。那么，微分包含系统的每一个从S出发的解x:[0,infty) ightarrowmathbb{R}^d都收敛到Scapoverline{{yinmathbb{R}^d:0inoverline{mathcal{L}}_mathcal{F}f(y)}}中最大的不变集M。进一步，如果M是由有限个点组成的，那么解的极限是S中的元素。

6.3.3凸函数梯度微分包含的稳定性

下面我们考虑如下系统dotx(t)in-partial_pf(x(t))，其中f是个凸函数。通过之前的章节，我们知道该系统的解存在并且唯一。一贯的，其弱非增性和强非增性也都是存在的。这样，对于梯度微分包含来说，可以说f是弱非增的。

对于所有的zetainpartial_pf(x)，存在v=-zetain-partial_pf(x)以满足zeta^Tv=-|zeta|_2^2leq0。所以对所有xinmathbb{R}^d有underline{mathcal{L}}_{-partialf}f(x)leq0。

【命题】

设mathcal{F}:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}是凸函数。那么，f的严格极小值处是梯度微分包含的强稳定集。进一步，如果f的水平集有界，那么系统的解渐进收敛到该稳定集。

6.3.4控制系统的稳定性

考虑如下的mathbb{R}^d上的控制系统dotx=X(x,u)，其中X:mathbb{R}^d imesmathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}^d。上述系统是局部（全局）连续稳定的，如果存在一个连续映射k:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m使得闭环系统dotx=X(x,k(x))在原点局部（全局）稳定。

【定理5】

设X:mathbb{R}^d imesmathbb{R}^mmapstomathbb{R}^d连续并且X(0,0)=0。如果存在一个连续稳定控制器，那么存在原点在mathbb{R}^d imesmathbb{R}^m上的一个临域，并且其像X是原点在mathbb{R}^d上的一个临域。（好难理解~）

特别的，上述定理揭示了dotx=u_iX_1(x)+cdots+u_mX_m(x),m<n,i=1,cdots,m不存在连续的反馈控制器。

【示例】非完整积分

考虑如下系统left{egin{array}{}dotx_1&=&u_1dotx_2&=&u_2dotx_3&=&x_1u_2-x_2u_1end{array} ight.，其中u_1,u_2inmathbb{R}^2。

可见该系统的形式复合上个定理的形式，其中m=2，X_1(x_1,x_2,x_3)=(1,0,-x_2)，X_2(x_1,x_2,x_3)=(0,1,x_1)。该系统是可控的，但是不满足定理5中的条件，所以它不是连续可控的。

定理5中的条件是必要的但不充分，也就是说存在满足定理5条件却不存在连续稳定器的系统。

别的连续控制器的存在性的障碍是Milnor定理。这种障碍激发研究者关注时变反馈控制器和非连续反馈控制器。对于后者，首要面对的问题就是非连续微分方程的解的理解。我们已经看到，Caratheodory解不是好的做法，因为它非常容易失效。但是下面我们会阐述，Filippov解也不是个好做法（震惊了！）

【定理6】

设X:mathbb{R}^d imesmathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}^d连续，X(0,0)=0。假设，对于每一个mathcal{U}subseteqmathbb{R}^m和每一个xinmathbb{R}^d，有X(x,{ mco}mathcal{U})= mcoX(x,mathcal{U})成立。在Filippov解的意义下，如果dotx=X(x,u)存在一个可测的，局部有界的稳定器，那么原点在mathbb{R}^d imesmathbb{R}^m上存在一个临域，其原象（image）是原点在mathbb{R}^d上的临域。

特别的，dotx=u_iX_1(x)+cdots+u_mX_m(x),m<n,i=1,cdots,m在Filippov解的意义下不能被非连续控制器稳定。这个问题使用sample-and-hold方法可以解决。

考虑微分包含系统dotx(t)inG[X](x(t))，控制系统dotx=X(x,u)。我们称上述控制系统是开环（闭环）全局渐进可控，如果零是微分包含系统的一个弱Lyapunov稳定点，并且每一个yinmathbb{R}^d都存在一个从y出发趋向于0的解。另一方面，映射k:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}^m在sample-and-hold意义下可以稳定系统，如果对于所有的x_0inmathbb{R}^d，对所有的varepsilonin(0,infty)，都存在delta,Tin(0,infty)以至于对所有满足diam(pi)<delta的[0,t_1]上的分隔pi，其对应的从x_0出发的pi解tmapstox(t)满足对所有的tgeqT，有|x(t)|_2<varepsilon成立。

下面说明，全局渐进可控性和sample-and-hold意义下反馈控制的存在性是等价的。

【定理7】

设X:mathbb{R}^d imesmathbb{R}^m ightarrowmathbb{R}^d连续，X(0,0)=0。当且仅当系统dotx=X(x,u)存在一个可测的局部有界的sample-and-hold意义下的控制器，该系统是全局渐进稳定的。

具体的证明方法需要用到之前提到过的Lyapunovpair，即李雅普诺夫函数对。

所以推广一下，如果在广义梯度的意义下也存在Lyapunovpair，那么存在Filippov意义下的反馈控制器。

【示例】使用非连续反馈控制Cartoncircle系统

之前已经说明，(0,0)是系统的全局弱稳定平衡点，那么该系统可以使用sample-and-hold意义下的非连续控制器进行控制。控制方法也很简单，如果系统的状态在x_2轴的左边，那么顺着向量场前进；如果状态在x_2轴的右边，那么反着向量场前进；如果系统状态刚好在x_2上，那么选取一个随机的前进方向。

（这种控制方法很显然是对的，之前确实不知道还能用这种工具说明啊，不过“采样和保持”体现在哪里的？）

显著地，对于仿设控制系统，可以了解存在一种反馈控制器，其非连续的部分是零测集，并且不连续集都是排斥性的。事实上，这个事实说明，对于闭环系统，这种解可以在Caratheodory意义下被理解。这与上个示例中展示的是一样的。（这一段在说啥？）。

7总结

这篇文章就做了三个微小的工作。第一个是介绍了各种常见的非连续系统的解。第二个是回顾了非光滑分析中的一些工具以研究Lyapunov函数的导数是怎么的。第三个是介绍了非光滑稳定性工具以便研究解的渐进行为。

非连续微分方程的解的选取取决于系统的特性。从形式来看，Caratheodory解适合非光滑与时间有关的系统（其本身是个关于时间的积分），比如有与脉冲信号有关的动力系统，或者具有不连续输入的开环系统。Filippov解适用于，以电路为例，包含开关、继电器的系统，或者包含摩擦力的牛顿系统、滑模控制系统等。sample-and-hold解，也即pi解会保持系统状态一段时间，这个办法是系统渐进稳定的关键所在。

关于非连续微分系统的相关知识还有很多，我们希望本文成为您知识探索的良好开端。

完成，但草稿自动保存几乎把页面卡死了

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